Folgen Reihen und Grenzwerte Eigenschaften von Folgen Oberstufe ★ Übung 2

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Übungshefte zu allen Videos: http://shop.strandmathe.de/ • Folgen lassen sich durch verschiedene Eigenschaften unterscheiden. Bei Folgen kann es sein, dass die Anzahl n mit einer Potenz m versehen ist. Wie bei ganzrationalen Funktionen entscheidet der höchste Exponent m über das Verhalten. Entscheidende Eigenschaften von Folgen sind Monotonie und Beschränktheit. • Monotonie: Monotonie bedeutet, dass die Werte der Folge entweder immer größer oder immer kleiner werden. Man spricht dann von „monoton steigend“ bzw. „monoton fallend“. Mathematisch ausgedrückt: • Monoton steigend: a_n a_(n-1) • Monoton fallend: a_n a_(n-1) • Beschränktheit: Eine Folge ist beschränkt, wenn sich die Folge für große n einer „oberen Schranke S bzw. unteren Schranke s“ annähert. • Nach oben beschränkt: a_n S • Nach unten beschränkt: a_n s • Ist die Folge sowohl nach oben, als auch nach unten beschränkt, so spricht man von einer beschränkten Folge. • Gegeben sind die arithmetische Folge a_n=5+n∙2 und die geometrische Folge a_n=5∙2^n. Beschreibe die Eigenschaften der beiden Folgen. Untersuche sie dafür im Bereich von n=0 bis n=5. • Zur Untersuchung der beiden Folgen kann zunächst jeweils eine Wertetabelle erstellt werden. • Arithmetische Folge: • n 0 1 2 3 4 5 • a_n 5 7 9 11 13 15 • Sofort fällt auf, dass die Werte immer größer werden. Eine arithmetische Folge hat einen linearen Verlauf, daher ist dies nicht nur in dem untersuchten Intervall der Fall, sondern auch im globalen Verlauf. Mathematisch gilt also • a_n a_(n-1) • Trifft dieses Kriterium zu, so handelt es sich um eine monoton steigende Folge. Da die Werte mit einem konstanten Summanden größer werden, liegt auch keine obere Schranke vor. • Geometrische Folge: • n 0 1 2 3 4 5 • a_n 5 10 20 40 80 160 • Auch bei der geometrischen Folge werden die Werte stets größer. Auch hier gilt: • a_n a_(n-1) • Bei einer geometrischen Folge existiert ein exponentieller Verlauf. Damit werden die Folgeglieder ins Unendliche steigen und besitzen keine obere Schranke. • Trainer: „Eine Funktion ist monoton steigend, wenn jedes Folgeglied größer ist als sein Vorgänger. Das bedeutet allerdings nicht, dass die Folge nicht beschränkt sein kann!“ • 1. Untersuche die verschiedenen Folgen auf Monotonie und Beschränktheit. Bestimme dafür jeweils die ersten fünf Glieder. Falls möglich, gib eine obere bzw. untere Schranke an • a) a_n=1/n b) a_n=(2n^2+1)/4n c) a_n=(2+1/n)/n^2 • 2. Bestimme die Differenz a_(n+1)-a_n der Folge a_n=(2n+3)/n und gib mit dieser Kenntnis an, ob die Folge monoton steigend bzw. fallend ist. Erläutere die getroffene Entscheidung. • 3. Untersuche die Eigenschaften der Folge • a_n=(2-(-1)^n)/2n . • Gib, wenn möglich, eine obere bzw. untere Schranke an. • • Facebook: / strandmathe • Instagram: / strandmathe • Twitter: / strandmathe

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