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Fonctions continues entre deux espaces vectoriels normésespaces métriques
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Video Source: www.youtube.com/watch?v=jLSn17TSQOg
Lien vers mon site: https://www.fmaalouf.com • Cette vidéo fait partie du cours Espaces vectoriels normés, espaces métriques : • Distances | Espaces Métriques: Défini... • Qu’est ce qu’une fonction continue? L'idée derrière la continuité d’une fonction f en un point a, c’est que lorsque x s’approche de a, alors f(x) s’approche de f(a). Autrement dit, vous ne pouvez pas avoir des point arbitrairement proches de a, et dont l’image par f est loin de celle de a. Cette idée peut être décrite mathématiquement par une formule précise que je vais expliquer. On dit qu’une fonction est continue si elle l’est en tout point. • Un premier exemple de fonctions continues est donnée par les projections de R^n dans R. Ces fonctions ont même une propriété plus forte que la continuité: elles sont 1-Lipschitziennes, c’est à dire que la distance entre les images est plus petite que celle entre les antécédents. D’autres exemples de fonctions continues: l'identité, les fonctions somme et produit, la composée de fonctions continues. Dans la pratique, ces propriétés vont souvent être suffisantes pour établir la continuité de certaines fonctions, sans avoir à revenir à la définition de la continuité à chaque fois. • Dans la dernière partie de la vidéo, on donne une caractérisation séquentielle de la continuité : une fonction est continue en un point x si et seulement si, à chaque fois qu’une suite (x_n)_n converge vers x, alors la suite des images (f(x_n))_n converge vers f(x).
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