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Geometrische Folgen Oberstufe ★ Übung 1
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Übungshefte zu allen Videos: http://shop.strandmathe.de/ • Geometrische Folgen besitzen im Vergleich zur arithmetischen Folge keine konstante Differenz, sondern einen konstanten Quotienten q≠0. Somit gilt also für zwei benachbarte Folgenmitglieder, dass wenn man sie durcheinander teilt, sie den gleichen Quotienten aufweisen. Dabei handelt es sich entweder um ein exponentielles Wachstum (5, 15, 45, 135,…), gleichzeitiges Wachstum und Zerfall (1, -2, 4, -8,…) oder um die Annäherung an einen bestimmten Wert, z.B. Null (1, -1/2, 1/4, -1/8,…). Die „explizite Form“ einer geometrischen Folge lautet: • a_n=a₁∙q^(n-1) • Die „rekursive Form“ der geometrischen Folge ergibt sich zu: • a_n=〖q∙a〗_(n-1) • Bestimme die ersten 10 Glieder einer geometrischen Folge mit den beiden bekannten Werten a_2=2 und a_6=32. Erstelle dafür eine Wertetabelle. Im Anschluss soll die Folge graphisch dargestellt werden. • Mit Hilfe von zwei bekannten Werten und der expliziten Form einer geometrischen Folge kann die Folge genau bestimmt werden. Dafür werden die beiden bekannten Werte eingesetzt: • a_2=2=a₁∙q^(2-1) ⟺ a₁= 2/q • a_6=32=a_1∙q^(6-1) ⟺ a₁= 32/(q⁵) • Dieses lineare Gleichungssystem kann nun gelöst werden. • 2/q=32/(q⁵) ⟺ 2q4 = 32 ⟺ q4 = 16 • Daraus folgt nach umstellen: • q=∜16=2 und a₁=1 • an = 1, 2, 4, 8,… beginnend mit a1 • n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 • a_n 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 • Die geometrische Folge besitzt einen exponentiellen Verlauf. • Dialog 2 Trainer: „Sind der Quotient q und der Anfangswert a_0 bestimmt, so kann die Folge dargestellt werden. Geometrische Folgen wachsen entweder ins Unendliche oder haben einen sogenannten Grenzwert, je nachdem ob q positiv oder negativ, bzw. kleiner oder größer als Null ist.“ • 1. Berechne die ersten fünf Glieder der geometrischen Folgen: • a) a₁=2 , q=0,75 b) a_1=10 , q=2 c) a_1=100, q=-3 d) a_1=5, q=-1/2 • 2. Bestimme je die geometrische Folge: • a) a_6=-24300 , a_1=100 b) a_4=-0,1875 , a_1=12 c) a_7=6144 , a_3=24 • 3. Ein bestimmter Sparvertrag einer Bank bietet pro Jahr 2,5 % Zinsen. Ein Kunde mit einem Startkapital von 27.000 € möchte diesen Vertrag für zehn Jahre abschließen. Stelle den Sachverhalt als geometrische Folge auf. Gib dabei sowohl die explizite als auch die rekursive Folge an. Bestimme dann alle Glieder inklusive a_10 und stelle diese graphisch dar. • 4. Wenn Licht durch Glas scheint, geht dabei Lichtintensität verloren. In einem Haus fällt das Licht durch 4 Fenster, bis es in der Küche ankommt. Dort herrscht eine Lichtintensität von ≈74,805%. Welchen Prozentanteil Lichtintensität geht beim Durchdringen einer Glasscheibe verloren? Stelle auch die Folge auf. • 5. Erkläre den Unterschied zwischen einer arithmetischen und einer geometrischen Folge grafisch. • • Facebook: / strandmathe • Instagram: / strandmathe • Twitter: / strandmathe
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