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Wachstumsfunktionen Klasse 10 β Wissen
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Übungshefte zu allen Videos: http://shop.strandmathe.de/ • Facebook: / strandmathe • Instagram: / strandmathe • Twitter: / strandmathe • Funktionen, deren Werte mit einer gegebenen Zuordnungsvorschrift immer größer werden, nennt man Wachstumsfunktionen. Entscheidend über das Verhalten solcher Funktionen ist die Wachstumsrate a und der Anfangswert b. • Wird bei jedem x-Schritt ein konstanter Wert addiert, so spricht man von linearem Wachstum. Der Graph eines solchen Wachstums ist eine Gerade. f(x) = ax + b • Eine weitere Form einer Wachstumsfunktion ist das exponentielle Wachstum. Dabei gibt es einen konstanten Faktor größer 1, mit dem die Werte bei jedem x-Schritt multipliziert werden. f(x)= γb β aγ^x • Ein Badesee, der anfangs 500 m² groß ist, soll wöchentlich um 100 m² baulich vergrößert werden. Der See wird zu Beginn ebenfalls von 2 m² Algen bewuchert. Die Algenfläche verdoppelt sich jede Woche. Wird der See nach einer bestimmten Zeit komplett von Algen bewuchert sein? • Bei dieser Aufgabe musst du dir überlegen, um welche Wachstumsfunktionen es sich bei den beschriebenen Ereignissen handelt. Der See soll bei einer Anfangsgröße von 500 m² jede Woche um 100 m² vergrößert werden. Am einfachsten ist es, dir eine Wertetabelle zu erstellen. Du addierst jede Woche 100 m² zu dem vorherigen Wert. • Wird jede Woche ein konstanter Wert addiert, so handelt es sich um lineares Wachstum. Die Wachstumsrate ist 100 m². Die Funktion kannst du schreiben als: • f(x) = ax + b → f(x)=100 m² β x + 500 m² • Auch für das Algenwachstum erstellst du eine Wertetabelle. Der Anfangswert liegt bei 2γ mγ^2. Jede Woche verdoppelt sich der vorherige Wert. Du multiplizierst also jeweils mit der Wachstumsrate von 2. • Wird jede Woche mit einem konstanten Faktor multipliziert, so handelt es sich um exponentielles Wachstum. Die Wachstumsrate ist der Faktor 2. Da jede Woche x mit dem gleichen Faktor a multipliziert wird, drückt man es als Potenz a^x=2^x aus. Die Funktion kannst du schreiben als: • f(x) = γb β aγ^x → f(x) = 2 m² β 2^x • Du kannst die Wertetabelle nun weiter fortsetzen, um zu schauen, ob die Algenfläche so groß wie die des Sees wird. Einfacher ist es jedoch beide Funktionen in einem Graph darzustellen und nach dem Schnittpunkt zu suchen. • Nach spätestens 10 Wochen ist die Algenfläche also größer als der See! • Trainer: „Exponentielles Wachstum wächst viel schneller als lineares Wachstum! Das bedeutet, dass das exponentielle Wachstum auf lange Zeit gesehen größer sein wird als das lineare Wachstum.“
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