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Bedingte Wahrscheinlichkeiten berechnen Klasse 10 ★ Übung 2
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Übungshefte zu allen Videos: http://shop.strandmathe.de/ • Facebook: / strandmathe • Instagram: / strandmathe • Twitter: / strandmathe • Hängt eine Wahrscheinlichkeit von einer bestimmten Voraussetzung oder Information ab, so wird diese als bedingte Wahrscheinlichkeit bezeichnet. Ein Baumdiagramm für solche zweistufigen Ereignisse lässt sich wie folgt darstellen. • Hier treten die bedingten Wahrscheinlichkeiten auf den zweiten Pfaden auf und lassen sich durch Division einer Gesamtwahrscheinlichkeit (Schnittmenge) durch die Einzelwahrscheinlichkeit des zugehörigen ersten Pfads berechnen. Diese Formel wird Bayes’sche Regel genannt: • P_B (C)=(P(B∩C))/(P(B)) oder P_A (C)=(P(A∩C))/(P(A)) • Vereinfacht ausgedrückt, geht es hier darum (Beispiel: P_A (C)), die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis ‚C‘ auszurechnen, wenn man weiß, dass vorher schon das Ereignis A eingetreten ist. Du könntest also wissen wollen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, eine 6 zu würfeln, wenn jemand anders würfelt, drunter schaut und sagt, es sei keine 3. Das Ereignis, eine 6 zu würfeln ist nun also von dieser Information abhängig. • Bei einem Führerscheintest wurde eine Gruppe stichprobenartig untersucht. 40% der Teilnehmer waren weiblich. Von den Männern sind etwa 30% beim ersten Versuch durchgefallen. Bei den weiblichen Teilnehmern mussten 25% einen zweiten Test durchführen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällige Person, die den Test bestanden hat, männlich ist? • Aus den gegebenen Informationen kannst du zunächst wie gewohnt ein Baumdia-gramm erstellen. Bestanden wird mit B abgekürzt und nicht Bestanden mit nB. • Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist allerdings in diesem Baumdiagramm nicht zu finden. Die Voraussetzung ist, dass die Person den Führerschein bestanden hat. Erst danach ist gefragt, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass diese Person männlich ist. • Wenn dieser Fall auftritt, muss das Baumdiagramm umgekehrt werden. Der erste Pfad soll die Voraussetzung darstellen. Daher muss dieser Pfad ‚bestanden‘ und ‚nicht bestanden‘ enthalten. Also die Wahrscheinlichkeiten • P(B)=P(W∩B)+P(M∩B)=0,3+0,42=0,72 • P(nB)=P(W∩nB)+P(M∩nB)=0,1+0,18=0,28 • Die Wahrscheinlichkeiten am Ende des Baumdiagramms bleiben gleich! • P(B∩M)= P(M∩B)=0,42 usw. • Die Wahrscheinlichkeiten am zweiten Pfad kannst du jetzt alle mit der Bayes’sche Regel bestimmen. • P_B (M)=P(B∩M)/P(B) =0,42/0,72≈0,58 • P_B (W)=P(B∩W)/P(B) =0,3/0,72≈0,42 • P_nB (M)=P(nB∩M)/P(nB) =0,18/0,28≈0,643 • P_nB (W)=P(nB∩W)/P(nB) =0,1/0,28≈0,357 • Der gesuchte Pfad ist: P_B (M)≈0,58 • Mit einer 58%igen Chance ist die Person männlich. • Trainer: „Bei bedingten Wahrscheinlichkeiten ist es wichtig, die Voraussetzung bzw. Bedingung zu verstehen, damit das Baumdiagramm in der richtigen Reihenfolge er-stellt werden kann. Kehrst du ein Baumdiagramm um, dann kannst du die bedingten Wahrscheinlichkeiten berechnen.“
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