Youtor
enriched functor とenriched copresheaf
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【 functor category をenrich化する 】 • このセッションの目的は、カテゴリー C からカテゴリーDへのfunctor 𝐶→𝐷 であるcopresheaf 𝐷^𝐶のenrich版を構成することです。 • まず、functorの定義を振り返りながら、enrich化されたfunctorを定義します。 • ここでは、次のような定義が与えられます。 • 「CとDを、あるcommutative monoidal preorder (V, ⊗, ≤, 1)上でenrich化されたカテゴリーとする。この時、Cのすべてのオブジェクト 𝑥,𝑦について • 𝐶(𝑥,𝑦) ≤ 𝐷(𝑓𝑥,𝑓𝑦) • を満たす関数 𝑓: 𝐶 → 𝐷 を enriched functorと呼ぶ。」 • ここで、C(x,y), D(x',y')は、enriched category のhomオブジェクトです。 • 次に、functorカテゴリーの定義とcopresheafの定義を振り返りながら、enrich化されたcopresheafの定義を考えていきます。 • Vがclosed commutative monoidal preorder の時、Vは自分自身でenrich化されたカテゴリーになります。先の定義で見た、enrich化されたfunctor f: C → 𝐷 で𝐷 = 𝑉とした enrich化されたfunctor 𝐶 → 𝑉を考えます。 • 「Cを、closed commutative monoidal preorder V上でenrich化されたカテゴリーとする。enrich化されたcopresheaf 𝑉^𝐶は、Cのすべてのオブジェクト𝑥,𝑦について • 𝐶(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑉(𝑓𝑥, 𝑓𝑦) • を満たす関数で定義される。」 • この条件式は、先に見たenriched functor の条件式で、𝐷 = 𝑉としたものに他なりません。 • 通常のカテゴリーでは、カテゴリー間の写像が functor category を定義するように、 • enrich化されたカテゴリーでは、enrich化されたカテゴリー間の写像が、enrich化されたfunctor category を定義します。 • -------------------------------- • セミナーへのお申し込みはこちら：https://llm-math2.peatix.com/ • ショートムービー「 enriched functor とenriched copresheaf」を公開しました。 • • enriched functor とenriched copresheaf • 「enriched functor とenriched copresheaf」のpdf資料https://drive.google.com/file/d/1D3Yu... • blog 「 functor category をenrich化する」 • https://maruyama097.blogspot.com/2024... • 「大規模言語モデルの数学的構造 II」まとめページ • https://www.marulabo.net/docs/llm-math2/ • ショートムービーの再生リスト • • 大規模言語モデルの数学的構造 II -- エピソード
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