Cours sur la dualité

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Le dual est à la dualité ce que le conjoint est au couple. C'est dire si l'affaire est sérieuse! On commencera donc par parler de ce que l'on appelle le dual et surtout de la dualité (en dimension finie). On exhibera un tableau qui va transformer un objet de l'algèbre linéaire en un objet dual . On définira ensuite la base duale en dimension finie, on écrit deux formules qui se révèleront très pratiques dans la suite, et on fournira un contre-exemple en dimension infinie, où la famille duale d'une base n'est pas une base (elle est en fait uniquement libre mais non génératrice). • On vient de voir les bases duales. Comment le changement de base duale dans E^* s'opère-t-il en fonction d'un changement de base fixé dans E? On se rend compte que si l'on part d'une matrice de passage P dans l'espace, alors on obtient une matrice de passage Q dans l'espace duale qui se trouve être, en générale, différente de P (Q est l'inverse de la transposée de P). Mais si l'on dualise une fois de plus la base duale, on obtient une matrice de passage à nouveau égale à P. Ceci permet de voir qu'il y a un isomorphisme indépendant d'une base choisie entre un espace E et son bidual. • On donne deux applications de la dualité, une à la formule d'interpolation de Lagrange, et une autre à la formule de Taylor polynomiale. On montre que ces deux formules découlent d'une démarche standard impliquant la recherche de bases duales l'une de l'autre. • On discrétise la formule de Taylor pour obtenir une formule générale qui calcule la somme P(0)+P(1)+...+P(m) pour tout polynôme P. On ne se prive pas d'utiliser la dualité. • On étudie maintenant la dualité des sous-espaces vectoriels pour aboutir à la notion d'orthogonal d'un sous-espace (attention, cet orthogonal doit être vu dans le dual!). On donne la dimension de cet orthogonal, puis, on étudie la dualité des opérations sur les sous-espaces vectoriels. • On introduit les hyperplans comme l'orthogonal d'une droite. Si une droite est un sous-espace non nul ayant un minimum de degrés de liberté, un hyperplan peut être vu comme un sous-espace ayant un minimum de contraintes. On discute les sous-espaces comme intersections d'hyperplans, ce qui revient à obtenir un sous-espace par son équation cartésienne. • Dans cette vidéo, on présente la transposée d'une application linéaire. Même si au final, elle correspond à la banale transposée d'une matrice, cette notion abstraite de transposée d'application linéaire demande une certaine habileté dans le maniement. On prouve que la transposée fournit une bijection linéaire entre les espaces L(E,F) et L(F^*,E^*). • On montre ici que la transposée, qui envoie bijectivement l'espace L(E,F) sur L(F^*,E^*),envoie les injectifs sur les surjectifs et inversement, les noyaux sur les images. Ce qui nous permet d'achever le dictionnaire de la dualité que nous avions mis en introduction du cours 5. • On jongle ici avec le bidual pour montrer que la transposée est involutive. Mais si f est dans l'espace L(E,F) des applications linéaires, la transposée de sa transposée est dans L(E^{**},F^{**}). Que signifie donc l'égalité entre deux éléments qui n'appartiennent pas au même ensemble? On va essayer d'expliquer cette subtilité. Ceux qui ne sont pas sensibles au concept alambiqué de bidual pourront se contenter de constater que la transposée possède une version matricielle beaucoup plus pratique. • On fait le point sur des applications de la dualité dans le programme et les développements de de l'agreg (interne ou externe). On trouvera des applications aux polynômes, aux matrices, en analyse, topologie, et bien sûr dans le cadre des formes quadratiques. • • 00:00 L'objet dual • 19:44 changement de base et dualité • 38:31 Deux applications classiques de la dualité • 57:58 Somme des P(k) et dualité • 01:09:02 Dualité et sous-espaces • 01:28:46 Hyperplans • 01:41:04 La transposée • 01:51:29 Injectifs vs surjectifs • 02:02:48 Bidual et transposée • 02:15:16 Le point sur les applications de la dualité

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