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Modellieren zeitlich periodischer Vorgänge Trigonometrie Klasse 10 ★ Wissen
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Das zugehörige StrandMathe-Übungsheft erhältlich auf: https://www.strandmathe.de/shop • Hilft Dir in allen Klassen, bei allen Themen: StrandMathe • Facebook: / strandmathe • Instagram: / strandmathe • Twitter: / strandmathe • Wie bereits in Kapitel D 4 vorgestellt, lassen sich viele Vorgänge des Alltags durch Winkelfunktionen beschreiben, die man durch entsprechende Parameter anpasst (vgl. Kapitel D 5). Darüber hinaus ist das Modellieren die Anwendung dieses Wissens. • Da ein periodischer Vorgang in der Praxis oftmals in Abhängigkeit der Zeit dargestellt wird, benötigt man den Zusammenhang für Zeit und Winkel. Diesen definiert man als Kreisfrequenz ω□(∶= 2π/T) mit der Periodendauer T. Die allgemeine Form lautet dann: • f(t) = a ∙ sin〖(ω(t - t_0)) + d〗 • Der Verlauf der Gezeiten lässt sich durch Winkelfunktionen beschreiben. In einem Hafen vergehen zwischen der Hochwasserhöhe von 9,5 m und der folgenden Niedrigwasserhöhe von 4,1 m genau 6 Stunden. Modelliere die Höhe des Wasserstands h als Funktion h(t). Zu Beginn der Messung um 0 Uhr herrscht Niedrigwasser. • Beim Modellieren kann man sich am üblichen Vorgehen zur Parameterbestimmung einer Sinusfunktion orientieren (vgl. Kapitel D 5). Die Parameter a und d lassen sich aus den Extremwerten des Wasserstands herleiten: Die Differenz aus Höchst- und Tiefstwert beträgt 9,5 m-4,1 m=5,4 m . Daraus ergibt sich für a= (5,4 m)/2=2,7 m und d=9,5 m-2,7 m=6,8 m. • Die Kreisfrequenz berechnet sich ganz leicht nach der obigen Formel. Beachte dabei, dass sich die genannten 6 Stunden in der Aufgabenstellung nur auf eine halbe Periode beziehen, nämlich von Hochwasser bis Niedrigwasser. Die ganze Periodendauer beträgt also 12 h. • ω= 2π/(12 h)= π/6 1⁄h • Für t0, also die Verschiebung in x-Richtung, musst du dir wieder einmal Gedanken machen über die gestreckte Form der Kurve. Oftmals ist es jedoch beim Modellieren zeitlicher Vorgänge nicht allzu schwer, da die zeitlichen Abstände gut vor Augen zu führen sind. Die zeitliche Differenz von Niedrigwasser zur mittleren Höhe beträgt genau ein Viertel der Periodendauer, 3 Stunden. Da der nächste Tiefpunkt einer Sinusfunktion links vom Ursprung liegt, lautet die Verschiebung in positiver Richtung t_0=3 h. Die gesamte Funktion lautet: • f(t) = 2,7 m ∙ sin〖(π/6 1⁄h(t – 3 h)) + 6,8 m〗 • Dabei ist für t0 wie immer zu beachten, dass eine Verschiebung nach rechts mit einem negativen Rechenzeichen einhergeht. • Trainer: „Der entscheidende Unterschied zwischen diesem Kapitel und dem Kapitel zur allgemeinen Sinusfunktion liegt darin, dass hier eine zeitliche Abhängigkeit eingeführt wird. Die Kreisfrequenz ermöglicht die Umrechnung von Zeit und Winkel.“
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