Youtor
Basis for Subspaces Linear Algebra
>> YOUR LINK HERE: ___ http://youtube.com/watch?v=pENCVRxL22E
Üniversitene özel daha fazla ders için: https://unicourse.co • Alt Uzayların Temeli ve Lineer Bağımsızlık • Merhaba genç arkadaşlar! Bugün sizlere lineer cebirde hayati önem taşıyan bir konudan, alt uzayların temelinden (basis for subspaces) bahsedeceğim. Bu kavram, matematiğin pek çok alanında karşımıza çıkar ve doğru bir şekilde anlaşılması oldukça faydalıdır. • Vektör Uzayları ve Alt Uzaylar • En başında, vektör uzaylarının ne olduğuna bir bakalım. Örneğin $\\mathbb{R}^3$ (R3), tüm $3$ boyutlu vektörleri içeren, sonsuz sayıda vektörden oluşan devasa bir kümedir. Ayrıca $M_{2\\times 2}$, tüm $2 \\times 2$ matrisleri içeren bir uzaydır. Bu uzayların altında, belirli kurallara uyan alt kümeler yer alır ve bu kümelerin bazılarına alt uzay (subspace) deriz. • Bir kümenin alt uzay olabilmesi için üç özelliği sağlaması gerekir: • 1. Sıfır vektörü içinde olmalı. • 2. Toplamaya kapalı olmalı. • 3. Çarpmaya kapalı olmalı. • Alt Uzayların Temeli Nedir? • Temel (basis) kavramını, bir sıfat olarak düşünebilirsiniz. Bir alt uzayın temeli, bu uzayı oluşturan en küçük (yani gereksiz vektör içermeyen) lineer bağımsız vektörler kümesidir. İki koşulu vardır: • Vektörler lineer bağımsız (linearly independent) olmalı. • Vektörlerin span'ı alt uzayı tamamen kapsamalı. • Lineer Bağımsızlık ve Span • Bir vektör kümesi lineer bağımsız olduğunda, bu vektörlerin hiçbiri diğerlerinin lineer kombinasyonu olamaz. Örneğin, $\\mathbb{R}^2$ koordinat düzleminde $1 \\cdot (1, 0) + 0 \\cdot (0, 1)$ ve $0 \\cdot (1, 0) + 1 \\cdot (0, 1)$ şeklindeki olası kombinasyonlarla tüm düzlemi tararız. • İkinci koşul, span denilen şeydir. Eğer bir vektörler kümesinin tüm lineer kombinasyonları, bir uzayın her vektörünü ifade edebiliyorsa, o kümenin span'ı bu uzayı kapsıyor demektir. Örneğin, $1 \\cdot (1, 0) + 1 \\cdot (3, 1)$, $\\mathbb{R}^2$'nin span'ını tamamen kullandığımız anlamına gelir. • Standart Temel (Standard Basis) • Standart temel, sıklıkla karşılaşacağınız bir kavramdır. $\\mathbb{R}^2$ için $(1, 0)$ ve $(0, 1)$ vektörleri, standard bir temeldir. Bu, kimlik matrisi $I_2$'nin satırları olarak düşünülebilir. Benzer şekilde, $\\mathbb{R}^3$ için $(1, 0, 0)$, $(0, 1, 0)$ ve $(0, 0, 1)$ vektörleri de bir standart temeldir ve bunlar kimlik matrisi $I_3$'ün satırlarıdır. • Örnek Senaryolar • Columna (Column Space) Temeli • Eğer bir matrisin colum space'i (sütun uzayı) için bir temel bulmak istiyorsanız, tüm sütunların lineer bağımsız olmayanlarının yedeklenmesi ve sadece pivot pozisyonları bırakılması gerekmektedir. • Satır Alanı (Row Space) Temeli • Row space (satır uzayı) için temel bulurken, matrisin transposunu alarak column space bulur gibi işlem yapmalıyız. Pivot sütunları bulduktan sonra, tekrar ilk matrise dönerek oradaki satırları temel olarak alırız. • Null Alanı (Null Space) Temeli • Null space için, $Ax = 0$ denkleminin çözümlerine bakarız. Augmented matrix kullanarak satır indirgeme işlemi yaparız ve null space'in temeli, free variables cinsinden yazılan çözümler olur. • Sonuç • Temel bulma, sadece matematiksel bir problem olarak değerlendirilemez. Bu, aynı zamanda büyük bir düşünme becerisinin parçasıdır. Farklı temeller, farklı perspektifler sunar ve zihnimizi esnek tutmamızı sağlar. • Gelecek yazılarda daha fazla örnekle ve sorun çözme yöntemleriyle konuyu derinlemesine inceleyeceğiz. Umarım bu yazı, linear algebra konusuna olan ilginizi artırır. Başarılar!
#############################
