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Transición Desde Grupos de Lie Geometría Diferencial v3
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El video explica la relación entre los grupos de Lie y la geometría diferencial, destacando su aplicación en diversas áreas como la física, inteligencia artificial y el aprendizaje automático. Los grupos de Lie combinan la estructura algebraica de un grupo con la continuidad de una variedad diferenciable, lo que permite usar cálculo diferencial para analizar estos espacios. • Se menciona cómo las variedades diferenciables pueden ser representadas mediante parches locales, que son mapeos de regiones de la superficie a un espacio euclidiano. Estos parches se unen para formar una estructura suave y continua llamada atlas. • En resumen, la cartas locales describen pequeñas porciones de la variedad en Rn de manera suave, estas cartas locales se ensamblan mediante funciones de cambio de coordenadas aseguran transiciones suaves entre ellas. • De modo que un atlas es el conjunto de cartas locales que cubren toda la variedad diferenciable global, - que es suave y coherente -, la cual se configuró al coser todas las cartas locales mediante esas funciones de cambio de coordenadas. • Este enfoque es fundamental en geometría diferencial, ya que permite estudiar objetos complejos como superficies, curvas y más en un marco matemático sólido. • Un ejemplo sencillo es la circunferencia, que localmente se comporta como un espacio euclidiano, pero globalmente requiere dos funciones (para los semicírculos superior e inferior) que, al unirse, cubren toda la circunferencia. Este proceso es descrito a través de cartas locales que cubren el semicírculo superior φ1 y el semicírculo inferior φ2 , ambas diferenciables en su dominio. Las funciones de transición entre estas cartas son suaves, lo que garantiza que la circunferencia sea una variedad diferenciable completa. • Artículo de Base: https://docirs.cl/Grupos_Lie_Geometri...
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